JEE Main 2026 — 4 April, Evening Shift — Question 49

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\int_{0}^{\mathrm{x}} \tan (\mathrm{x}-\mathrm{t}-\mathrm{x}) \mathrm{dt}-\int_{0}^{\mathrm{x}} \mathrm{f}(\mathrm{t}) \tan \mathrm{t} \mathrm{dt}$ $\mathrm{f}(\mathrm{x})=-\int_{0}^{\mathrm{x}} \tan \mathrm{tdt}-\int_{0}^{\mathrm{x}} \mathrm{f}(\mathrm{t}) \tan \mathrm{t} \mathrm{dt}$ $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=-\tan \mathrm{x}-\mathrm{f}(\mathrm{x}) \tan \mathrm{x}$ $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{y}+1}=-\tan \mathrm{x} \mathrm{dx}$ $\mathrm{y}+1=\cos \mathrm{x} . \mathrm{c}$ $\mathrm{f}(0)=0 \Rightarrow 1=\mathrm{c}$ $\mathrm{y}=\cos \mathrm{x}-1=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ $\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$ $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=-\sin \mathrm{x}$ $\mathrm{f}^{\prime}\left(\frac{-\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$ $f^{\prime \prime}(x)=-\cos x$ $f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)+12 f^{\prime}\left(\frac{-\pi}{6}\right)+f\left(\frac{\pi}{6}\right)=5$