JEE Main 2026 — 4 April, Evening Shift — Question 43

I.F. $=\mathrm{e}^{\int \frac{6 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\left(3 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}^{3}+4\right)}{\left(\mathrm{x}^{3}+2\right)\left(2+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)} \mathrm{dx}}$ $=\mathrm{e}^{\int \frac{6 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\left(3 \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}^{3}-4\right)+\left(4 \mathrm{x}^{3}+8\right) \mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}}{\left(\mathrm{x}^{3}+2\right)\left(2+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)} \mathrm{dx}}$ Let $\left(\mathrm{x}^{3}+2\right)\left(2+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)=\mathrm{t}$ $\left(6 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\left(3 \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}^{3}-4\right)\right) \mathrm{dx}=\mathrm{dt}$ I.F. $=\mathrm{e}^{\ln \left(\mathrm{x}^{3}+2\right)\left(2+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)-\int \frac{4 \mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}} \mathrm{dx}}{2+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}}}$ $=\mathrm{e}^{\ell \mathrm{n}\left|\left(\mathrm{x}^{3}+2\right)\left(2+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)\right|-2 \ell \mathrm{n}\left|2+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right|}$ $=\mathrm{e}^{\ln \left|\frac{\mathrm{x}^{3}+2}{2+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}}\right|}=\frac{\mathrm{x}^{3}+2}{2+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}}$ $\Rightarrow \mathrm{y} \cdot\left(\frac{\mathrm{x}^{3}+2}{2+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}}\right)=\int\left(\frac{\mathrm{x}^{3}+2}{2+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}}\right)\left(\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}+2\right) \mathrm{dx}+\mathrm{C}$ $y \cdot\left(\frac{x^{3}+2}{2+e^{-2 x}}\right)=\frac{x^{4}}{4}+2 x+C$ at $y(0)=\frac{3}{2} \Rightarrow C=1$ So $\mathrm{y} \cdot\left(\frac{\mathrm{x}^{3}+2}{2+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}}\right)=\frac{\mathrm{x}^{4}}{4}+2 \mathrm{x}+1$ at $\mathrm{x}=1$ $y \cdot\left(\frac{3}{2+e^{-2}}\right)=\frac{1}{4}+2+1$ $\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{13}{12}\left(\mathrm{e}^{-2}+2\right)$ So $\alpha=\frac{13}{12}$