JEE Main 2024 — 9 April, Shift 1 — Question 13

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{3}+\mathrm{bx}^{2}+\mathrm{cx}+41$

$\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=3 a \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{bx}+\mathrm{cx}$

$\Rightarrow \mathrm{f}^{\prime}(1)=3 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}+\mathrm{c}=2$ $\quad…(1)$

$f^{\prime \prime}(x)=6 a x+2 b$

$\Rightarrow \mathrm{f} "(1)=6 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}=4$

$3 a+b=2$ $\quad…(2)$

(1) $-(2)$

$\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$

$\mathrm{f}(1)=40$

$a+b+c+41=40$

use (3) $a+41=40$ by (2)

$-3+b=2 \Rightarrow b=5 \& c=-5$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1+25+25=51$