JEE Main 2024 — 8 April, Shift 1 — Question 27

$\alpha=\sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}}\left(4 \mathrm{r}^{2}+2 \mathrm{r}+1\right) .{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}$

$\alpha=4 \sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}} \mathrm{r}^{2} \cdot \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{r}} \cdot{ }^{\mathrm{n}-1} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1}+2 \sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}} \mathrm{r} \cdot \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{r}} .{ }^{\mathrm{n}-1} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-}+\sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}}{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}$

$+4 \mathrm{n} \sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}}{ }^{\mathrm{n}-1} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1}+2 \mathrm{n} \sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}}{ }^{\mathrm{n}-1} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1}+\sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}}{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}$

$\alpha=4 \mathrm{n}(\mathrm{n}-1) \cdot 2^{\mathrm{n}-2}+4 \mathrm{n} \cdot 2^{\mathrm{n}-1}+2 \mathrm{n} \cdot 2^{\mathrm{n}-1}+2^{\mathrm{n}}$

$\alpha=2^{n-2}[4 n(n-1)+8 n+4 n+4]$

$\alpha=2^{\mathrm{n}-2}\left[4 \mathrm{n}^{2}+8 \mathrm{n}+4\right]$ $\alpha=2 \mathrm{n}(\mathrm{n}+1)^{2}$

$\beta=\sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}} \frac{{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}}{\mathrm{r}+1}+\frac{1}{\mathrm{n}+1}$

$=\sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}} \frac{{ }^{\mathrm{n}+1} C_{\mathrm{r}+1}}{\mathrm{n}+1}+\frac{1}{\mathrm{n}+1}$

$=\frac{1}{n+1}\left(1+{ }^{n+1} C_{1}+\ldots .++^{n+1} C_{n+1}\right)$

$=\frac{2^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}$

$\frac{2 \alpha}{\beta}=\frac{2^{n+1}(n+1)^{2}}{2^{n+1}} .(\mathrm{n}+1)=(\mathrm{n}+1)^{3}$ $140<(\mathrm{n}+1)^{3}<281$

$\mathrm{n}=4 \Rightarrow(\mathrm{n}+1)^{3}=125$

$\mathrm{n}=5 \Rightarrow(\mathrm{n}+1)^{3}=216$

$\mathrm{n}=6 \Rightarrow(\mathrm{n}+1)^{3}=343$

$\therefore \mathrm{n}=5$