JEE Main 2024 — 5 April, Shift 2 — Question 25

$\quad \mathrm{S}=1+\frac{\mathrm{x}}{2 \sqrt{3}}+\frac{\mathrm{x}^{2}}{18}+\frac{\mathrm{x}^{3}}{36 \sqrt{3}}+\frac{\mathrm{x}^{4}}{180}+\ldots \infty$

Put $\frac{x}{\sqrt{3}}=t$, where $x=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\mathrm{S}=1+\frac{\mathrm{t}}{2}+\frac{\mathrm{t}^{2}}{6}+\frac{\mathrm{t}^{3}}{12}+\frac{\mathrm{t}^{4}}{20}+\ldots$

$\mathrm{S}=1+\mathrm{t}\left(1-\frac{1}{2}\right)+\mathrm{t}^{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\mathrm{t}^{3}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+$

$\mathrm{t}^{4}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)$

$\mathrm{S}=\left(1+\mathrm{t}+\frac{\mathrm{t}^{2}}{2}+\frac{\mathrm{t}^{3}}{3}+\frac{\mathrm{t}^{3}}{4}+\ldots\right)-\left(\frac{\mathrm{t}}{2}+\frac{\mathrm{t}^{2}}{3}+\frac{\mathrm{t}^{3}}{4}+\frac{\mathrm{t}^{4}}{5}+\ldots\right)$

$\mathrm{S}=\left(\mathrm{t}+\frac{\mathrm{t}^{2}}{2}+\ldots\right)-\frac{1}{\mathrm{t}}\left(\mathrm{t}+\frac{\mathrm{t}^{2}}{2}+\frac{\mathrm{t}^{3}}{3}+\ldots\right)+2$

$\mathrm{S}=2+\left(1-\frac{1}{\mathrm{t}}\right)(-\log (1-\mathrm{t}))=\left(\frac{1}{\mathrm{t}}-1\right) \log (1-\mathrm{t})+2$

$\mathrm{S}=2+\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-1\right) \log \left(1-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)$

$S=2+\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\right) \log e \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\mathrm{S}=2+\frac{(\sqrt{6}+2)}{2} \log \mathrm{e} \frac{2}{3}=2+\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+1\right) \log \mathrm{e} \frac{2}{3}$

$a=2, b=3$

$11 \mathrm{a}+18 \mathrm{~b}=11 \times 2+18 \times 3=76$