JEE Main 2025 — 22 January, Evening Shift — Question 7

$\alpha=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{e}{1-e}\right)\left(\frac{1}{e}-\frac{x}{1+x}\right)\right)^{x} \quad\left(1^{\infty}\right.$ form $)$

$\therefore \alpha=\mathrm{e}^{\mathrm{L}}$

Where $\mathrm{L}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow \infty} \mathrm{x}\left(\left(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}\right)-1\right)$

$\Rightarrow \mathrm{L}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\right) \mathrm{x}\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}-\left(\frac{1-\mathrm{e}}{\mathrm{e}}\right)\right)$

$\Rightarrow L=\frac{e}{1-e} \lim _{x \rightarrow \infty} x\left(1-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{L}=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \lim _{\mathrm{x} \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}$

$\Rightarrow \mathrm{L}=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} .1$

$\Rightarrow \mathrm{L}=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}$

$\therefore \alpha=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}} \Rightarrow \log \alpha=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}$

$\therefore$ Required value $=\frac{\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}}{1+\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}}=\mathrm{e}$