JEE Advanced 2023 — Paper 1 — Question 9

$\mathrm{T}_{\mathrm{r}}=7 \times 10^{\mathrm{r}-1}+5\left(10^{\mathrm{r}-2}+10^{\mathrm{r}-3}+\ldots . .+10\right)+7 \quad \mathrm{r} \geq 2$

$=7 \times 10^{\mathrm{r}-1}+5\left(10 \frac{\left(1-10^{\mathrm{r}-2}\right)}{1-10}\right)+7$

$=7 \times 10^{\mathrm{r}-1}+\frac{50}{9}\left(10^{\mathrm{r}-2}-1\right)+7$

$=7 \times 10^{r-1}+\frac{50}{9} 10^{r-2}+\frac{13}{9}$

$\mathrm{S}=\sum_{\mathrm{r}=2}^{100} \mathrm{~T}_{\mathrm{r}}=\sum_{\mathrm{r}=2}^{100}\left(7 \times 10^{\mathrm{r}-1}+\frac{50}{9} 10^{\mathrm{r}-2}+\frac{13}{9}\right)$

$=70\left(\frac{10^{99}-1}{10-1}\right)+\frac{50}{9} \times\left(\frac{10^{99}-1}{10-1}\right)+\frac{13}{9} \times 99$

Now, $\frac{70}{9}\left[10^{99}-1\right]+\frac{50}{9^{2}}\left(10^{99}-1\right)+13 \times 11=\frac{\left(7 \times 10^{100}+\frac{50}{9} \times 10^{99}+\frac{13}{9}\right)+\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$

$\Rightarrow \frac{7}{9}\left(10^{100}\right)+\frac{50}{9 \times 9} 10^{99}+13 \times 11-\frac{50}{9^{2}}-\frac{70}{9}=\frac{7}{n} \times 10^{100}+\frac{50}{9 n} \times 10^{99}+\frac{13}{9 n}+\frac{m}{n}$

$\mathrm{n}=9$

$13 \times 11 \times 9^{2}-50-70 \times 9=13+9 m$

$\mathrm{m}=1210$

$\mathrm{m}+\mathrm{n}=1219$