JEE Main 2025 — 23 January, Evening Shift — Question 16

$\text{Let\; the\; columns\; of \;}A\text{ be\; }C_1,C_2,C_3.$

$A\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=C_3=\begin{bmatrix}4\\3\\0\end{bmatrix}.$

$A\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}=C_1+C_2=\begin{bmatrix}2\\0\\2\end{bmatrix}.$

$A\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}=C_1+2C_2=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}.$

$\text{Subtracting\; the\; second\; equation\; from\; the\; third:\; }C_2=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\\0\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\1\\-2\end{bmatrix}.$

$\text{Then\; }C_1=\begin{bmatrix}2\\0\\2\end{bmatrix}-C_2=\begin{bmatrix}3\\-1\\4\end{bmatrix}.$

$\text{And }C_3=\begin{bmatrix}4\\3\\0\end{bmatrix}.$

$\therefore a_{23}=\text{(row\; 2,\; column\; 3)}=3.$

$\boxed{3}$