JEE Main 2024 — 4 April, Shift 1 — Question 6

$A=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\left(1+3 x-2 x^{2}-\frac{1}{x}\right) d x$

$A=\left[x+\frac{3 x^{2}}{2}-\frac{2 x^{3}}{3}-\ln x\right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$

$A=\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{3}{2}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}-\frac{2}{3}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{3}-\ln \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$

$-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{8}\right)+\ln \left(\frac{1}{2}\right)$

$\mathrm{A}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{3}{8}+\frac{3}{4} \sqrt{5}+\frac{15}{8}-\frac{4}{3}-\frac{2}{3} \sqrt{5}$

$-\frac{1}{2}-\frac{3}{8}+\frac{1}{12}-\ln (1+\sqrt{5})$

$=\sqrt{5}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)+\frac{15}{8}-\frac{4}{3}+\frac{1}{12}-\ln (1+\sqrt{5})$

$=\frac{14}{24} \sqrt{5}+\frac{15}{24}-\ln (1+\sqrt{5})$

$\ell+\mathrm{m}+\mathrm{n}=30$