JEE Main 2025 — 3 April, Morning Shift — Question 41

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 …(1)$

$\mathrm{P}(4,2 \sqrt{3})$

$\mathrm{PS}_{1} . \mathrm{PS}_{2}=32$

$\left|\mathrm{PS}_{1}-\mathrm{PS}_{2}\right|=2 \mathrm{a}$

$\mathrm{P}(4,2 \sqrt{3})$ lies on H

$\therefore \frac{16}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{12}{\mathrm{~b}^{2}}=1$

$$16 b^{2}-12 a^{2}=a^{2} b^{2} …(2)$$

$\left|\mathrm{PS}_{1}-\mathrm{PS}_{2}\right|^{2}=4 \mathrm{a}^{2}$

$\mathrm{PS}_{1}{ }^{2}+\mathrm{PS}_{2}{ }^{2}-2 \mathrm{PS}_{1} . \mathrm{PS}_{2}=4 \mathrm{a}^{2}$

$(\mathrm{ae}-4)^{2}+12+(\mathrm{ae}+4)^{2}+12-64=4 \mathrm{a}^{2}$

$2 \mathrm{a}^{2} \mathrm{e}^{2}-8=4 \mathrm{a}^{2}$

$a^{2}+b^{2}-4=2 a^{2}$

$\mathrm{b}^{2}-\mathrm{a}^{2}=4$

(2) & (3) $\Rightarrow 16\left(\mathrm{a}^{2}+4\right)-12 \mathrm{a}^{2}=\mathrm{a}^{2}\left(\mathrm{a}^{2}+4\right)$

$\Rightarrow 16 \mathrm{a}^{2}+64-12 \mathrm{a}^{2}=\mathrm{a}^{4}+4 \mathrm{a}^{2}$ $\Rightarrow \mathrm{a}^{4}=64$

$\Rightarrow \mathrm{a}^{2}=8$

$\therefore \mathrm{b}^{2}=12$

$p^{2}+q^{2}=4 b^{2}+\frac{4 b^{4}}{a^{2}}$

$=120$