JEE Main 2025 — 4 April, Evening Shift — Question 36

$f(x)=\log _{4}\left(\log _{3}\left(\log _{7}\left(8-\log _{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)\right)\right)\right.$

$\log _{3}\left(\log _{1}\left(8-\log _{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)\right)\right)>0$

$\log _{7}\left(8-\log _{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)\right)>1$

$8-\log _{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)>7$

$-\log _{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)>-1$

$\log _{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)<1$

$x^{2}+4 x+5<2$

$x^{2}+4 x+3<0$

$\Rightarrow(x+3)(x+1)<0 …(1)$

$\log _{7}\left(8-\log _{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)\right)>0$

$8-\log _{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)>1$

$\log _{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)<9$

$x^{2}+4 x+5<2^{9}$

$x^{2}+4 x+5<512$

$\Rightarrow x^{2}+4 x-507<0$

$\Rightarrow x=-4 \pm \sqrt{16+2028}$

$x=\frac{-4 \pm \sqrt{2044}}{2} …(2)$

$\Rightarrow\left(x-\left(\frac{-4+\sqrt{2044}}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{-4-\sqrt{2044}}{2}\right)\right)<0$

$x^{2}+4 x+5>0$

$D>0$

$x \in R$

Also, $8-\log _{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)>0$

$\log _{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)<8$

$x^{2}+4 x+5<256$

$\Rightarrow x^{2}+4 x-251<0$

$\Rightarrow x=-4 \pm \sqrt{16+1004}$

$\Rightarrow x=\frac{-4 \pm \sqrt{1020}}{2}$

$\Rightarrow\left(x-\left(\frac{-4+\sqrt{1020}}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{-4-\sqrt{1020}}{2}\right)\right)<0$

$\therefore$ Intersection of (1), (2) and (3)

$\therefore x \in(-3,-1)$

$-1 \leq \frac{7 x+10}{x-2} \leq 1$

$\Rightarrow x \in[-2,-1]$

$\therefore \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+\delta^{2}=(-3)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{-2}+(-1)^{2}$

$=9+1+4+1$

$=15$