JEE Main 2026 — 6 April, Evening Shift — Question 37

$\because f(x y)=f(x) f(y)$ $\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{\mathrm{n}}$ or $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{k}$ But $\mathrm{f}(0) \neq 0 \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x}) \neq \mathrm{x}^{\mathrm{n}}$ For $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{k} \Rightarrow \mathrm{k}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{k} \Rightarrow \mathrm{k}=1(\because \mathrm{f}(0) \neq 0)$ $\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=1$ $\mathrm{x}^{2} \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\int_{1}^{\mathrm{x}}\left(\mathrm{t}^{2}(1)-\operatorname{tg}(\mathrm{t})\right) \cdot \mathrm{dt}$ diff $\mathrm{w} / \mathrm{r}$ to x $\Rightarrow \mathrm{x}^{2} \mathrm{~g}^{\prime}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x}) .2 \mathrm{x}=\mathrm{x}^{2}-\mathrm{xg}(\mathrm{x})$ $\Rightarrow \mathrm{xg}^{\prime}(\mathrm{x})+3 \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}$ $\Rightarrow \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})+\frac{3}{\mathrm{x}} \mathrm{g}(\mathrm{x})=1$ $\mathrm{IF}=\mathrm{e}^{\int \frac{3}{\mathrm{x}} \mathrm{dx}}=\mathrm{e}^{3 \ln (\mathrm{x})}=\mathrm{x}^{3}$ Solution of DE : $\Rightarrow \mathrm{g}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{x}^{3}=\int \mathrm{x}^{3} \mathrm{dx}$ $\Rightarrow x^{3} \cdot g(x)=\frac{x^{4}}{4}+C$ $\Rightarrow \mathrm{C}=-\frac{1}{4}\{\because \mathrm{~g}(1)=0\}$ $\mathrm{g}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{x}^{3}=\frac{\mathrm{x}^{4}}{4}-\frac{1}{4}$ Put $\mathrm{x}=2$ (8) $g(2)=4-\frac{1}{4}$ $\mathrm{g}(2)=\frac{15}{32}$.