JEE Main 2026 — 21 January, Morning Shift — Question 21

Given quadratic equation has equal roots, thus $\mathrm{D}=0 \Rightarrow\left(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})\right)^{2}=\mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{f}(\mathrm{x})$

$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)}$

Integrate $\ell \mathrm{n}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))=\ell \mathrm{n}\left(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})\right)+\ell \mathrm{nC} \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{c} . \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$

Put $=\mathrm{x}=0$ $1=\mathrm{c} .2 \Rightarrow \mathrm{c}=\frac{1}{2}$

Now $2 \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})}{\mathrm{f}(\mathrm{x})}=2$

Integrate $\ell \mathrm{n}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))=2 \mathrm{x}+\mathrm{d}$

$\Rightarrow \mathrm{d}=0$

$\Rightarrow \ln (\mathrm{f}(\mathrm{x}))=2 \mathrm{x} \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}$

Now let $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\ln \mathrm{x}-\mathrm{x})=\mathrm{e}^{2(\text { nx }-\mathrm{x})}$

$\therefore \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=2 \mathrm{e}^{2(\ell \mathrm{n} \mathrm{x}-\mathrm{x})},\left(\frac{1}{\mathrm{x}}-1\right) \geq 3$

$\Rightarrow \frac{1-\mathrm{x}}{\mathrm{x}} \geq 0$

$\Rightarrow \mathrm{x} \in(0,1]$

$\Rightarrow \alpha=0, \beta=1$

$\alpha+\beta=1$.