JEE Main 2026 — 28 January, Morning Shift — Question 15

$\mathrm{B} = (\mathrm{I} + \mathrm{A})^{-1},\ \mathrm{A} + \mathrm{C} = \mathrm{I}$

$\Rightarrow \mathrm{B}(\mathrm{I} + \mathrm{A}) = (\mathrm{I} + \mathrm{A})\mathrm{B} = \mathrm{I}$

$\Rightarrow \mathrm{B} + \mathrm{BA} = \mathrm{B} + \mathrm{AB}$

$\Rightarrow \mathrm{B} + \mathrm{B}(\mathrm{I} - \mathrm{C}) = \mathrm{B} + (\mathrm{I} - \mathrm{C})\mathrm{B}$

$\Rightarrow 2\mathrm{B} - \mathrm{BC} = 2\mathrm{B} - \mathrm{CB}$

$\Rightarrow \mathrm{BC} = \mathrm{CB}$

$\therefore \mathrm{CB}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \end{bmatrix} \ \therefore\ x_1 + x_2 = 0$