JEE Main 2024 — 9 April, Shift 2 — Question 13

$\mathrm{BCB}^{-1}=\mathrm{A}$

$\Rightarrow\left(\mathrm{BCB}^{-1}\right)\left(\mathrm{BCB}^{-1}\right)=\mathrm{A} . \mathrm{A}$

$\Rightarrow \mathrm{BCICB}^{-1}=\mathrm{A}^{2}$

$\Rightarrow \mathrm{BC}^{2} \mathrm{~B}^{-1}=\mathrm{A}^{2}$

$\Rightarrow \mathrm{B}^{-1}\left(\mathrm{BC}^{2} \mathrm{~B}^{-1}\right) \mathrm{B}=\mathrm{B}^{-1}(\mathrm{~A} . \mathrm{A}) \mathrm{B}$ From equation (1) $\mathrm{C}^{2}=\mathrm{A}^{-1} \cdot \mathrm{~A} \cdot \mathrm{~B}$

$\mathrm{C}^{2}=\mathrm{B}$ Also $\mathrm{AB}^{-1}=\mathrm{A}^{-1}$

$\Rightarrow \mathrm{AB}^{-1} \cdot \mathrm{~A}=\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~A}=\mathrm{I}$

$\Rightarrow \mathrm{A}^{-1}\left(\mathrm{AB}^{-1} \mathrm{~A}\right)=\mathrm{A}^{-1} \mathrm{I}$

$\mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}=\mathrm{A}^{-1}$

Now characteristics equation of $\mathrm{C}^{2}$ is

=$\left| \begin{matrix}1−\lambda & 3 \\1 & 5−\lambda \\\end{matrix} \right|=0$ $\Rightarrow(1-\lambda)(5-1)-3=0 \Rightarrow\left(\lambda^{2}-6 \lambda+5\right)-3=0$

$\Rightarrow \lambda^{2}-6 \lambda+2=0$

$\Rightarrow \beta^{2}-6 \mathrm{~B}+2 \mathrm{I}=0$

$\Rightarrow C^{4}-6 C^{2}+2 I=0$

$\alpha=-6$

$\beta=2$

$\therefore 2 \beta-\alpha=4+6=10$