JEE Main 2024 — 4 April, Shift 2 — Question 15

$\quad \sum \mathrm{P}_{i}=1$

$a+2 a+a+b+2 b+3 b=1$

$4 a+6 b=1$

$\mathrm{E}(\mathrm{x})=$ mean $=\frac{46}{9}$

$\sum \mathrm{P}_{\mathrm{i}} \mathrm{X}_{\mathrm{i}}=\frac{46}{9} \Rightarrow 4 \mathrm{a}+4 \mathrm{a}+4 \mathrm{~b}+12 \mathrm{~b}+24 \mathrm{~b}=\frac{46}{9}$

$8 a+40 b=\frac{46}{9}$

$4 a+20 b=\frac{23}{9}$

Subtract (I) from (II) we get

$\mathrm{b}=\frac{1}{9} \& \mathrm{a}=\frac{1}{12}$

Variance $=\mathrm{E}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{2}\right)-\mathrm{E}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)^{2}$

$\mathrm{E}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{2}\right)=0^{2} \times 9^{2}+2^{2} \times 2 \mathrm{a}+4^{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})+6^{2}(2 \mathrm{~b})+8^{2}(3 \mathrm{~b})$ $=24 a+280 b$

Put $a=\frac{1}{12} ,\quad b=\frac{1}{9}$

$\mathrm{E}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{2}\right)=2+\frac{280}{9}=\frac{298}{9}$

$\therefore \sigma^{2}=\mathrm{E}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{2}\right)-\mathrm{E}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)^{2}$

$=\frac{298}{9}-\left(\frac{46}{9}\right)^{2}$

$\sigma^{2}=\frac{298}{9}-\frac{2116}{81}$

$=\frac{566}{81}$