JEE Main 2025 — 23 January, Morning Shift — Question 21

$x^{2}+y^{2}=5$

$\mathrm{x}^{2}+(\mathrm{x}-1)^{2}=25 \Rightarrow \mathrm{x}=4,-3$

$A=25 \pi-\int_{-3}^{4} \sqrt{25-x^{2}} d x+\frac{1}{2} \times 4 \times 4+\frac{1}{2} \times 3 \times 3$

$\mathrm{A}=25 \pi+\frac{25}{2}-\left[\frac{\mathrm{x}}{2} \sqrt{25-\mathrm{x}^{2}}+\frac{25}{2} \sin ^{-1} \frac{\mathrm{x}}{5}\right]_{-3}^{4}$

$\mathrm{A}=25 \pi+\frac{25}{2}-\left[6+\frac{25}{2} \sin ^{-1} \frac{4}{5}+6+\frac{25}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{5}\right]$

$\mathrm{A}=25 \pi+\frac{1}{2}-\frac{25}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$

$\mathrm{A}=\frac{75 \pi}{4}+\frac{1}{2}$

$\mathrm{A}=\frac{1}{4}(75 \pi+2)$

$\mathrm{b}=75, \mathrm{c}=2$

$\mathrm{b}+\mathrm{c}=75+2=77$