JEE Main 2024 — 9 April, Shift 1 — Question 50

$\cos \theta=\frac{5}{9}$

$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\mathrm{ab}}=\frac{5}{9}$

$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{2}|\vec{a}-\vec{b}|$

$a^{2}+b^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}=2 a^{2}+2 b^{2}-4 \vec{a} \cdot \vec{b}$

$6 \vec{a} \cdot \vec{b}=a^{2}+b^{2}$

$6 \times \frac{5}{9} a b=a^{2}+b^{2}$

$\frac{10}{3} a b=a^{2}+b^{2} \quad \& \quad a=n b$

$\frac{10}{3} n b^{2}=n^{2} b^{2}+b^{2}$

$3 n^{2}-10 n+3=0$

$\mathrm{n}=\frac{1}{3}$ and $\mathrm{n}=3$

integer value $\mathrm{n}=3$