JEE Main 2026 — 8 April, Evening Shift — Question 33

$I=\int_{0}^{2} \sqrt{\frac{x\left(x^{2}+x+1\right)}{(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)} d x}$ $=\int_{0}^{2} \sqrt{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{3}+1}} \mathrm{dx}$ $\left(\mathrm{x}^{3 / 2}=\mathrm{t} \Rightarrow \frac{3}{2} \mathrm{x}^{1 / 2} \mathrm{dx}=\mathrm{dt}\right)$ $=\frac{2}{3} \int_{0}^{2^{3 / 2}} \frac{\mathrm{dt}}{\sqrt{\mathrm{t}^{2}+1}}$ $=\frac{2}{3}\left(\ln \left(\mathrm{t}+\sqrt{\mathrm{t}^{2}+1}\right)\right)_{0}^{2^{3 / 2}}$ $=\frac{2}{3} \ln \left(2^{3 / 2}+3\right)$

$\frac{2}{3}\log_{e}(3+2\sqrt{2})$