JEE Main 2026 — 6 April, Morning Shift — Question 24

Put $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}, \overline{\mathrm{z}}=\mathrm{x}-\mathrm{iy}$ $\Rightarrow \overline{\mathrm{z}}+2+\mathrm{i}=\mathrm{x}-\mathrm{iy}+2+\mathrm{i}$ $\Rightarrow \mathrm{z}(\overline{\mathrm{z}}+2+\mathrm{i})=(\mathrm{x}+\mathrm{iy})(\mathrm{x}+2+\mathrm{i}(1-\mathrm{y}))$ ⇒ Real part $=\mathrm{x}(\mathrm{x}+2)-\mathrm{y}(1-\mathrm{y})$ Imaginary part $=x(1-y)+y(x+2)$

\Rightarrow x^{2}+y^{2}+2 x-y+2 k=0 \end{gathered}$$ and $\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+3 \mathrm{k}=0$ eliminating $x$ from (1) and (2) $5 \mathrm{y}^{2}+(12 \mathrm{k}-5) \mathrm{y}+9 \mathrm{k}^{2}-4 \mathrm{k}=0$ since $y \in R$ use $\mathrm{D} \geq 0$ $(12 \mathrm{k}-5)^{2}-4.5\left(9 \mathrm{k}^{2}-4 \mathrm{k}\right) \geq 0$ $\Rightarrow 36 \mathrm{k}^{2}+40 \mathrm{k}-25 \leq 0$ $\Rightarrow \alpha+\beta=\frac{-10}{9}$ $\Rightarrow 9(\alpha+\beta)=-10$