JEE Main 2024 — 6 April, Shift 1 — Question 27

$T_{r}=3 T_{r-1}+6^{r}, r=2,3,4, \ldots n$

$\mathrm{T}_{2}=3 . \mathrm{T}_{1}+6^{2}$

$\mathrm{T}_{2}=3.6+6^{2}$

$\mathrm{T}_{3}=3 \mathrm{~T}_{2}+6^{3}$

$\mathrm{T}_{3}=3 \mathrm{~T}_{2}+6^{3}$

$\mathrm{T}_{3}=3\left(3.6+6^{2}\right)+6^{3}$

$T_{3}=3^{2} .6+3.6^{2}+6^{3}$

$\mathrm{T}_{\mathrm{r}}=3^{\mathrm{r}-1} \cdot 6+3^{\mathrm{r}-2} \cdot 6^{2}+\ldots+6^{\mathrm{r}}$

$\mathrm{T}_{\mathrm{r}}=3^{\mathrm{r}-1} \cdot 6\left[1+\frac{6}{3}+\left(\frac{6}{3}\right)^{2}+\ldots+\left(\frac{6}{3}\right)^{\mathrm{r}-1}\right]$

$\mathrm{T}_{\mathrm{r}}=3^{\mathrm{r}-1} \cdot 6\left(1+2+2^{2}+\ldots+2^{\mathrm{r}-1}\right)$

$\mathrm{T}_{\mathrm{r}}=6 \cdot 3^{\mathrm{r}-1} 1 \cdot \frac{\left(1-2^{\mathrm{r}}\right)}{(-1)}$ $\mathrm{T}_{\mathrm{r}}=6.3^{\mathrm{r}-1} \cdot\left(2^{\mathrm{r}}-1\right)$

$\mathrm{T}_{\mathrm{r}}=\frac{6 \cdot 3^{\mathrm{r}}}{3} \cdot\left(2^{\mathrm{r}}-1\right)$

$\mathrm{T}_{\mathrm{r}}=2 .\left(6^{\mathrm{r}}-3^{\mathrm{r}}\right)$

$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2 \Sigma\left(6^{\mathrm{r}}-3^{\mathrm{r}}\right)$ $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2 \cdot\left[\frac{6 \cdot\left(6^{\mathrm{n}}-1\right)}{5}-\frac{3 \cdot\left(3^{\mathrm{n}}-1\right)}{2}\right]$

$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2\left[\frac{12\left(6^{\mathrm{n}}-1\right)-15\left(3^{\mathrm{n}}-1\right)}{10}\right]$

$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{3}{5}\left[4.6^{4}-5.3^{\mathrm{n}}+1\right]$ $\therefore \mathrm{n}^{2}-12 \mathrm{n}+39=3$

$\mathrm{n}^{2}-12 \mathrm{n}+36=0$

$\mathrm{n}=6$