JEE Main 2026 — 23 January, Morning Shift — Question 23

$2 f(x) f^{\prime}(x)=f^{2}(x)+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}$

$\Rightarrow\left(\mathrm{f}(\mathrm{x})-\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})\right)^{2}=0$

$\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ $\Rightarrow \ln (\mathrm{f}(\mathrm{x}))=\mathrm{x}+\mathrm{c} \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{c}^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$

$\mathrm{f}(0)=5 \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=5 \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$

Mean $=\frac{\mathrm{f}(\ell \mathrm{n} 1)+\mathrm{f}(\ell \mathrm{n} 2)+\ldots \ldots \ldots .+\mathrm{f}(\ell \mathrm{n} 625)}{625}$ $=\frac{5[1+2+\ldots \ldots \ldots \ldots+625]}{625}=1565$