JEE Main 2026 — 21 January, Morning Shift — Question 10

Let $T=\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{f(x+2)}{f}\right)^{\frac{18}{(x-1)^{2}}} ; 1^{\infty}$ form

$\Rightarrow \mathrm{T}=\mathrm{e}^{\left.\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 1(\mathrm{x}-1)^{2}} \frac{18}{\left(\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)-\mathrm{f}}{\mathrm{f}}\right.}\right)}$

$\Rightarrow \mathrm{T}=\mathrm{e}^{\left.\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 1(\mathrm{x}-1)^{2}} \frac{18}{\left(\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)-\mathrm{f}}{18}\right.}\right)}$

$\Rightarrow \mathrm{T}=\mathrm{e}^{\lim _{\mathrm{x} \rightarrow\left(\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)-\mathrm{f}}{(\mathrm{x}-1)^{2}}\right.} \frac{0}{0} \text { form }}$

Apply $\mathrm{L}^{\prime}$ pital $\Rightarrow \mathrm{T}=\mathrm{e}^{\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 1} \frac{\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}+2)}{2(\mathrm{x}-1)} ; \frac{0}{0} \text { form }}$

Apply $\mathrm{L}^{\prime}$ pital $\Rightarrow \mathrm{T}=\mathrm{e}^{\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 1} \frac{\mathrm{f}^{n}(\mathrm{x}+2)}{2}} =\mathrm{e}^{\frac{4}{2}}=\mathrm{e}^{2}$

$\Rightarrow \log _{\mathrm{e}}(\mathrm{T})=2$