JEE Main 2026 — 22 January, Evening Shift — Question 19

$\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{y})=\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{f}(\mathrm{y}) \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}$

$\left(\because \mathrm{f}(1)=7 \Rightarrow\mathrm{a}^{1}=7\right)$

So $\mathrm{f}(\mathrm{x})=7^{\mathrm{x}}$ Now $g(x+y)=g(x y) \quad($ put $y=1)$

$\Rightarrow \mathrm{g}(\mathrm{x}+1)=\mathrm{g}(\mathrm{x})$

so $\mathrm{g}(1)=\mathrm{g}(2)=\mathrm{g}(3)=\ldots=\mathrm{g}(\mathrm{n})=1$

Given $\sum_{\mathrm{x}=1}^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{g}(\mathrm{x})}=19607$

$\sum_{x=1}^{n} \frac{7^{x}}{1}=19607$

$\Rightarrow 7\left(\frac{7^{n}-1}{7-1}\right)=19607$

$7^{n}-1=\frac{6}{7} \times 19607$

$7^{\mathrm{n}}=16807 \Rightarrow \mathrm{n}=5$