JEE Main 2024 — 6 April, Shift 1 — Question 22

$\quad \mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \& \mathrm{x} \geq 3$

Slope of line at $P(x, y)$ will be $\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y+5}{x-3}\right)$

$\Rightarrow 2 \frac{d y}{(y+5)}=\frac{1}{(x-3)} d x$

$\Rightarrow 2 \ln (\mathrm{y}+5)=\ln (\mathrm{x}-3)+\mathrm{C}$

Passes through $(4,-2)$

$\Rightarrow 2 \ln (3)=\ln (1)+C$

$\Rightarrow \mathrm{C}=2 \ln (3)$

$\Rightarrow 2 \ln (\mathrm{y}+5)=\ln (\mathrm{x}-3)+2 \ln (3)$

$\Rightarrow 2\left(\ln \left(\frac{\mathrm{y}+5}{3}\right)\right)=\ln (\mathrm{x}-3)$

$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{y}+5}{3}\right)^{2}=(\mathrm{x}-3)$

$\Rightarrow(\mathrm{y}+5)^{2}=9(\mathrm{x}-3)$

Parabola $4 \mathrm{a}=9$

$a=\frac{9}{4}$

$d=\sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^{2}+6^{2}}$

$d=\frac{\sqrt{625}}{4}$

$\mathrm{d}=\frac{25}{4}$

$12 \mathrm{~d}=75$