JEE Main 2024 — 27 January, Shift 1 — Question 21

$2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-2=\mathrm{t} \quad 4 \mathrm{x}+6 \mathrm{y}-4=2 \mathrm{t}$

$2+3 \frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x} \quad 4 x+6 y-7=2 t-3$

$\frac{d y}{d x}=\frac{-(2 x+3 y-2)}{4 x+6 y-7}$ $\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=\frac{-3 \mathrm{t}+4 \mathrm{t}-6}{2 \mathrm{t}-3}=\frac{\mathrm{t}-6}{2 \mathrm{t}-3}$

$\int \frac{2 \mathrm{t}-3}{\mathrm{t}-6} \mathrm{dt}=\int \mathrm{dx}$

$\int\left(\frac{2 \mathrm{t}-12}{\mathrm{t}-6}+\frac{9}{\mathrm{t}-6}\right) \cdot \mathrm{dt}=\mathrm{x}$

$2 \mathrm{t}+9 \ln (\mathrm{t}-6)=\mathrm{x}+\mathrm{c}$

$2(2 x+3 y-2)+9 \ln (2 x+3 y-8)=x+c$

$x=0, y=3$

$\mathrm{c}=14$

$4 x+6 y-4+9 \ln (2 x+3 y-8)=x+14$

$x+2 y+3 \ln (2 x+3 y-8)=6$

$\alpha=1, \beta=2, \gamma=8$

$\alpha+2 \beta+3 \gamma=1+4+24=29$