JEE Main 2024 — 31 January, Shift 2 — Question 13

$f(x)=e^{x^{3}-3 x+1}$

$f^{\prime}(x)=e^{x^{3}-3 x+1} \cdot\left(3 x^{2}-3\right)$

$=\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{3}-3 \mathrm{x}+1} \cdot 3(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+1)$

For $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) \geq 0$

$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ is increasing function

$\therefore \mathrm{a}=\mathrm{e}^{-\infty}=0=\mathrm{f}(-\infty)$

$\mathrm{b}=\mathrm{e}^{-1+3+1}=\mathrm{e}^{3}=\mathrm{f}(-1)$

$P(2 b+4, a+2)$

$\therefore \mathrm{P}\left(2 \mathrm{e}^{3}+4,2\right)$

$\mathrm{d}=\frac{\left(2 \mathrm{e}^{3}+4\right)+2 \mathrm{e}^{-3}-4}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{-6}}}=2 \sqrt{1+\mathrm{e}^{6}}$