JEE Main 2026 — 24 January, Evening Shift — Question 21

$f(x)=e^{x}+\int_{0}^{1} y f(y) d y+x e^{x} \int_{0}^{1} f(y) d y$

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{A}+\mathrm{Bxe}^{\mathrm{x}}$

$\mathrm{A}=\int_{0}^{1}\mathrm{yf}(\mathrm{y}) \mathrm{dy}=\int_{0}^{1} \mathrm{y}\left(\mathrm{A}+\mathrm{e}^{\mathrm{y}}+\mathrm{By}\mathrm{e}^{\mathrm{y}}\right) \mathrm{dy}$

$\mathrm{A}=\frac{\mathrm{A}}{2}+(0-(-1))+\mathrm{B}(\mathrm{e}-1)$

$\frac{\mathrm{A}}{2}+\mathrm{B}(1-\mathrm{e})=1$ $B=\int_{0}^{1} f(y) d y$

$\mathrm{B}=\int_{0}^{1}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{y}}+\mathrm{A}+\mathrm{By} \mathrm{e}^{\mathrm{y}}\right) \mathrm{dy}$

$\mathrm{B}=(\mathrm{e}-1)+\mathrm{A}+\mathrm{B}(0-(-1))$

$\mathrm{B}=\mathrm{e}-1+\mathrm{A}+\mathrm{B} \Rightarrow \mathrm{A}=1-\mathrm{e}$

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{A}+\mathrm{Bxe}^{\mathrm{x}}$

$\mathrm{f}(0)=1+\mathrm{A}=1-\mathrm{e}+1=2-\mathrm{e}$

$\mathrm{e}+\mathrm{f}(0)=2$