JEE Advanced 2025 — Paper 2 — Question 22

$\mathrm{T}=\mathrm{S}_{1}$

$\mathrm{ky}-\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{h}}{2}\right)=\mathrm{k}^{2}-\mathrm{h}$

$\mathrm{x}-2 \mathrm{ky}+2 \mathrm{k}^{2}-\mathrm{h}=0$

$\mathrm{k}^{2}-\mathrm{h}<0 \quad \Rightarrow \mathrm{~h}-\mathrm{k}^{2}>0$

For Area : interchange x & y

$y-2 k x+2 k^{2}-h=0 \& y=x^{2}$

$\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{kx}+\left(2 \mathrm{k}^{2}-\mathrm{h}\right)=0<{ }_{\beta}^{\alpha}$

$|\alpha-\beta|=\sqrt{4 \mathrm{k}^{2}-4\left(2 \mathrm{k}^{2}-\mathrm{h}\right)}=\sqrt{4 \mathrm{~h}-4 \mathrm{k}^{2}}$

$A=\int_{\alpha}^{\beta}\left(\left(2 k x+h-2 k^{2}\right)-x^{2}\right) d x$

$\mathrm{A}=\frac{\left(4 \mathrm{~h}-4 \mathrm{k}^{2}\right)^{3 / 2}}{6}=\frac{4}{3}$

$\left(4 \mathrm{~h}-4 \mathrm{k}^{2}\right)^{3 / 2}=8 \quad \Rightarrow\left(4 \mathrm{~h}-4 \mathrm{k}^{2}\right)=4$

$\mathrm{h}-\mathrm{k}^{2}=1$

$(4, \sqrt{3}) \in \mathrm{S}$

$\mathrm{A}=\int_{1}^{4}(\sqrt{\mathrm{x}}-\sqrt{\mathrm{x}-1}) \mathrm{dx}=\frac{2}{3}\left(\mathrm{x}^{3 / 2}-(\mathrm{x}-1)^{3 / 2}\right)_{1}^{4}$

$\mathrm{A}=\frac{2}{3}(8-3 \sqrt{3}-1)=\frac{2}{3}(7-3 \sqrt{3})=\frac{14}{3}-2 \sqrt{3}$